Derivatif dan Differensial

DERIVATIF (Turunan)  DAN DIFFERENSIAL

Apa sih Turunan?

Definisi turunan atau derivatif aga susah kalau di berikan dalam bentuk kata (verbal). Sobat bisa misalkan ada y yang merupakan fungssi dari x, ditulis y = f(x). Yang dimaksud dengan turun y terhadap x (dinotasikan dy/dx) atau sering ditulis y’ (baca : “y aksen”) didefinisikan sebagai

Masih bingung? kita simak contoh berikut
sobat punya persamaan y = 4x maka nilai dari turunan tersebut menurut definisi di atas adalah

Rumus – Rumus Turunan Fungsi Matematika

Buat memudahkan sobat belajar berikut rumushitung.com rangkumkan berbagai rumus turuna. Check this out.. 

Rumus 1 : Jika y = cxⁿ dengan c dan n konstanta real , maka dy/dx = cn x^n-1

contoh
y = 2x⁴ maka dy/dx = 4.2x^4-1 = 8x³
kadang ada soal yang pakai pangkat pecahan atau akar
y = 2√x = 2x^1/2 turunannya adalah 1/2.2 x ^(1/2-1) = x ^-1/2 = 1/√x

Rumus 2 : Jika y = c dengan c adalah konstanta maka dy/dx = 0
contoh jika y = 6 maka turunannya adalah sama dengan nol (0)

Rumus 3 : Jika y = f(x) + g(x) maka turunannya sama dengan turunan dari masing-masing fungsi = f'(x) + g'(x)
contoh
y = x³ + 2x² maka y’ = 3x² + 4x
y = 2x⁵ + 6 maka y’ = 10x⁴ + 0 = 10x⁴

Rumus 4 : Turunan Perkalian Fungsi Jika y f(x).g(x) maka y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)
contoh
y = x² (x²+2) maka
f(x) = x²
f'(x) = 2x
g(x) = x²+2
g'(x) = 2x
kita masukkan ke rumus y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)
y’ = 2x (x²+2) + 2x . x²
y’ = 4x³ + 4x (jawaban ini juga bisa sobat peroleh dengan mengalikan terlebih dahulu lalu menggunakan rumus 3)

Rumus 5 : Turunan Pembagian Fungsi

contoh soalnya

 Rumus 6 : jika sobat punya y = [f(x)]ⁿ maka turunannya adalah n [f(x)]^n-1 . f'(x)

contoh

Rumus 7 : Turunan Logaritma Natural misal y = ln f(x) maka turunannya

contoh soal

Rumus 8 : e^f(x) maka dy/dx = e^f(x).f'(x)
contoh :
y = e^2x+1
f(x) = 2x+1
f'(x) = 2
maka f’ = e^2x+1 . 2 = 2e^2x+1

Rumus 9 : Turunan Trigonometri Sin

Jika sobat punya y = sin f(x) maka turunannya adalah y’ = cos f(x) . f'(x)
contoh :
y = sin(x² + 1) maka
y’ = cos (x² +1) . 2x = 2x. cos (x² +1)

Rumus 10 : Turunan Trigonometri Cos

Jika sobat punya y = cos f(x) maka turunanya adalah y’ = -sin f(x). f'(x)
contoh :
y = cos (2x+1) maka turunannya
y’ = -sin (2x+1) . 2 = -2 sin (2x+1)

Rumus Turunan Kedua
rumus turunan kedua sama dengan turunan dari turunan pertama (sobat turunkan sebanyak dua kali). Turunan kedua sobat peroleh dengan menurunkan turunan pertama. Contoh :
Turunan kedua dari x³ + 4x²
turunan pertama = 3x² + 8x
turunan kedua = 6x + 8

Perbedaan antara Derivatif dan Diferensial

Tahukah kamu apa sih bedanya diferensial dengan turunan?? Apakah sama?? Yapps, Diferensial dengan turunan itu istilah yang berbeda, namun banyak orang yang menganggap keduanya sama. Yah, semoga kalian bukanlah salah satu dari orang tersebut. Setidaknya, setelah kalian membaca post ini, kalian yang belum tahu menjadi tahu.. Dengan demikian, kalian tak akan terjebak terhadap artikel yang menyesatkan: "Turunan Atau Diferensial"... Hahahaha.. ;D

Apa Bedanya?

Misalkan: .

Selanjutnya, akan lebih mudah menggunakan gambar:

Seharusnya dari keterangan di atas, sudah jelas bahwa turunan dan diferensial itu berbeda. Turunan adalah hasil pembagian antara 2 buah diferensial.
Sebagai contoh,
Jika kita mengatakan bahwa "turunan dari  adalah ", maka pernyataan itu adalah BENAR, karena . Tapi, akan SALAH jika turunan disamakan dengan diferensial. Jika kita mengatakan bahwa "diferensial dari  adalah ", maka pernyataan itu adalah SALAH. Kalau ingin betulnya, harus seperti ini: "diferensial dari  adalah dikalikan dengan diferensial x" atau dapat ditulis begini: .. Memang.. Sepertinya hal sepele, namun krusial sebagai konsep...

Lalu, kenapa dinamakan diferensial???
Ingat-ingat kembali rumus turunan:

Yupp.. Diferensial adalah selisih variabel (Ingat "difference" dalam bahasa inggris artinya "beda", bukan?).. Sekadar mengingatkan, di rumus di atas, maka x adalah variabel bebas sedangkan y adalah variabel terikat.. Sebenarnya, bisa saja rumusnya begini:

Di atas maka y adalah variabel bebas sedangkan nilai x terikat terhadap variabel y.
Jika , maka  (Ingat fungsi invers)..

Betul Atau Salah?!?
Di sini akan diberikan beberapa pernyataan (persamaan), silakan dijawab apakah pernyataan tersebut betul atau salah...
1. 
2. 
3. 
Jawab:
Ketiganya BENAR. Bisakah kalian tahu mengapa??

Kenapa banyak orang yang terbalik mengenai kedua istilah ini??
Pertanyaan yang bersifat analitik dan dijawab dengan "sok tahu"-nya saya.. Pertama, mereka tidak pernah diajarkan mengenai perbedaan keduanya. Kedua, diferensial itu bagian dari Derivatif.. Jadi, "betty" alias beda tipiss.. Ketiga, mungkin saja, mereka tertukar dengan istilah-istilah lainnya, seperti:
kalkulus diferensial: materi kalkulus yang belajar tentang turunan.
diferensiasi: proses menurunkan.
differentiable (diferensiabel): dapat diturunkan atau turunan fungsi di titik itu exist (ada).

Contoh Soal dan Pembahasan:

Nah sekian untuk pembahasan tentang Derivatif dan Diferensial untuk kali ini, semoga bisa bermanfaat yah untuk kalian semua, see you next post^-^

=========================================================================