RELASI (HUBUNGAN) dan FUNGSI

HUBUNGAN (RELASI) dan FUNGSI

Holaa Guys^^ , dalam belajar matematika, kamu pasti sudah tidak asing dengan kata relasi dan fungsi bukan? Yup, relasi dan fungsi adalah salah satu konsep yang penting dalam belajar matematika. Ada banyak permasalahan matematika yang dapat diselesaikan menggunakan relasi dan fungsi. Berikut ini penjelasan selengkapnya, yuk simak bersama-sama.

Relasi

Menyatakan hubungan antara suatu anggota himpunan dengan anggota himpunan lainnya. Himpunan A dan himpunan B dikatakan memiliki relasi jika ada anggota himpunan yang saling berpasangan. Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan diagram panah, himpunan pasangan berurutan, dan diagram Cartesius.

1. Diagram Panah

Diagram panah merupakan cara yang paling mudah untuk menyatakan suatu relasi. Diagram ini membentuk pola dari suatu relasi ke dalam bentuk gambar arah panah yang menyatakan hubungan antara anggota himpunan A dengan anggota himpunan B.

Misalnya, ada 4 orang anak yaitu Ali, Siti, Amir dan Rizki. Mereka diminta untuk menyebutkan warna favorit mereka. Ali menyukai warna merah, Siti menyukai warna ungu, Amir menyukai warna hitam, dan Rizki menyukai warna merah. Dari hasil uraian tersebut, terdapat dua buah himpunan. Himpunan pertama adalah himpunan anak, kita sebut himpunan A dan himpunan yang kedua adalah himpunan warna, kita sebut himpunan B. Hubungan antara himpunan A dan himpunan B dapat di ilustrasikan dengan diagram panah seperti berikut:

Jadi, dapat disimpulkan bahwa diagram panah di atas merupakan relasi antara anak dengan warna yang mereka sukai. Relasi antara kedua himpunan tersebut dapat dinyatakan dengan panah-panah yang memasangkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B. 

2. Himpunan Pasangan Berurutan

Selain dengan diagram panah, suatu relasi juga dapat dinyatakan dengan menggunakan himpunan pasangan berurutan. Caranya dengan memasangkan himpunan A dengan himpunan B secara berurutan. Kita dapat mengambil contoh dari contoh diagram panah tadi.

Ali menyukai warna merah

Siti menyukai warna ungu

Amir menyukai warna hitam

Rizki menyukai warna merah

Dari uraian di atas kita dapat menyatakan relasinya dengan himpunan pasangan berurutan seperti berikut:

(Ali, merah), (Siti, ungu), (Amir, hitam), (Rizki, merah).

Jadi, relasi antara himpunan A dengan himpunan B dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan (x,y) dengan x ∈ A dan y ∈ B.

3. Diagram Cartesius

Menyatakan relasi antara dua himpunan dari pasangan berurutan yang kemudian dituliskan dalam bentuk dot (titik-titik). Contoh dari relasi antara anak dengan warna kesukaannya yaitu himpunan A = {Ali, Siti, Amir, Rizki} dan himpunan B = {merah, ungu, hitam}, dapat digambarkan dalam bentuk diagram Cartesius seperti di bawah ini:

Fungsi

Fungsi (pemetaan) merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B, jika setiap anggota himpunan A berpasangan tepat satu dengan anggota himpunan B. Semua anggota himpunan A atau daerah asal disebut domain, sedangkan semua anggota himpunan B atau daerah kawan disebut kodomain. Hasil dari pemetaan antara domain dan kodomain disebut range fungsi atau daerah hasil. Sama halnya dengan relasi, fungsi juga dapat dinyatakan dalam bentuk diagram panah, himpunan pasangan berurutan dan dengan diagram Cartesius.

Jadi, dari diagram panah di atas dapat disimpukan:

Domain adalah A = {1,2,3}

Kodomain adalah B = {1,2,3,4}

Range fungsi = {2,3,4}

Sebuah fungsi dapat dinotasikan dengan huruf kecil sepeti f, g, h. Misal, fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B dinotasikan f(x) dengan aturan f : x → 3x+3. Artinya fungsi f memetakan x ke 3x+3. Jadi daerah bayangan x oleh fungsi f adalah 3x+3 sehingga dapat dinotasikan dengan f(x) = 3x+3. Dari uraian ini dapat dirumuskan:

Jika fungsi f : x → ax +b dengan x anggota domain f , maka rumus fungsif adalah f(x) = ax+b

Dengan menghitung nilai fungsi, kita dapat mengetahui nilai fungsi yang dapat menghasilkan himpunan kawan (kodomain) dari himpunan asal (domain). Supaya lebih jelas, coba kerjakan contoh soal di bawah ini ya.

• Diketahui fungsi f : x → 3x + 3 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan:

1.     f(3)

2.     bayangan (-2) oleh f

3.     nilai f untuk x = -4

4.     nilai x untuk f(x) = 6

5.     nilai a jika f(a) = 12

Jawab:

Fungsi f : x → 3x + 3

Rumus fungsi: f(x) = 3x+3

1.     f(3) = 3(3)+3 = 12

2.     bayangan (-2) oleh f sama dengan f (-2), jadi f(-2) = 3(-2)+3 = -3

3.     nilai f untuk x = -4 adalah f (-4) = 3(-4)+3 = -9

4.     nilai x untuk f(x) = 6 adalah

3x + 3 = 6

3x = 6-3

3x = 3

x = 1

5. nilai a jika f(a) = 12

3a + 3 = 12

3a = 12 – 3

3a = 9

a = 3

Penulisan (notasi) fungsi 
Fungsi, misalnya untuk 2 variabel x dan y, ditulis dengan notasi   y = f(x) → baca y adalah fungsi dari x. Jadi y sebagai variabel yang ditentukan (dependent variable,), sedangkan x adalah variabel penentu(independent variable) terhadap y. 

Sifat-sifat Fungsi

1. Fungsi Into

Fungsi f : A → B disebut Into jika ada anggota B tidak mempunyai pasangan dengan anggota A.

2.    Fungsi Onto ( Surjektif )

Fungsi f : A → B  disebut onto jika setiap anggota B mempunyai pasangan anggota A. Sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

3. Fungsi Satu-Satu ( Injektif )

Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu (injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f : A→B adalah fungsi injektif . ( Untuk anggota B yang mempunyai pasangan dengan Anggota A, pasangan tersebut hanya satu ).

4.  Fungsi Korespondensi Satu-satu ( Bijektif )

Fungsi f : A → B  disebut korespondensi satu-satu jika fungsi tersebutinjektif dan sekaligus  surjektif.

Jenis-jenis Fungsi

a.      Berdasarkan letak variabel bebas (independent variables), terdapat 2 jenis fungsi sebagai berikut.  

1.  Fungsi eksplisit (explicit function)
Fungsi eksplisit (explicit function) adalah fungsi dimana (variabel bebas) independent variables berada di sebelah kanan, karena itu independent variables juga disebut right hand variables.Misal :

Fungsi :   y = f(x) þ

          Bentuk fungsi explicit :  y = x2;    y = a + bx;    y = 3 x  þ

2.  Fungsi implicit (implicit function)

   Fungsi implisit (implicit function) adalah fungsi dimana independent variables bersama-sama dependent variable berada di sebelah kiri, sedangkan di kanan angka 0. Misal  :

 Fungsi :   g(y,x) = 0 þ

          Bentuk fungsi implicit :  ax + b – y = 0;  x2 + y2 = 0;                    þ 

 b = 0 - mx - ey + y – x + ln x = 0;    y

Selain itu terdapat beberapa jenis fungsi lainnya seperti dibawah ini :

1.FUNGSI ALJABAR 

yaitu fungsi yang menggunakan operasi-operasi         penjumlahan,pengurangan,perkalian,pembagian, dan penarikan akar.

Contoh:

a.Fungsi irasional,yaitu fungsi yang variable bebasnya terdapat dibawah tanda akar. Misal f(x)=√x , g(x)= √x+1+3

b.Fungsi Rasional,yaitu fungsi yang variable bebasnya berpangkat bilangan bulat.

Fungsi rasional meliputi fungsi:

§  Fungsi polinom (suku banyak) memiliki bentuk  

f(x)=a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +….+ a₂x² + a₁x + a_0,   

dengan  a_n , a_n-1 , …,a₂ , a_{1 ,} a₀ adalah bilangan real a_n ≠ 0, a₀=konstanta dan n bilangan bulat.

§  Fungsi polinom berderajat n misalkan, f(x)=2x³+4x²+6x-5   

§  Fungsin kubik, yaitu fungsi yang berpangkat 3. Misalkan F(x)=x³ adalah fungsi kubik yang paling sederhana.   

§  Fungsi kuadrat, suatu fungsi yang berbentuk f(x)=ax²+bx+c, Dengan a,b,c konstanta dan a≠o. Dimana grafiknya berbetuk Parabola,domain fungsi ini adalah D_f=R.

§  Fungsi linear,suatu fungsi yang ditentukan oleh f(x)=ax+b, dengan a dan b konstanta dan a≠0. Kurva fungsi linear adalah garis y=ax+b yang selalu melalui titik (0,b) dan (a/b,0).

§  Fungsi pangkat, dinyatakan dengan y=f(x)=xⁿ, dengan n bilangan asli.

Jika n=2→grafiknya berbentuk parabola

n=3→grafiknya berbebtuk parabola kubik

n=4→grafiknya parabola kuadrat bentuk umum dari fungsi pangkat:y=f(x)=xⁿ, y=f(x)=axⁿ,

2. FUNGSI TRANSENDEN

yaitu fungsi yang bukan merupakan fungsi aljabar.

Contoh:

a. Fungsi eksponen,fungsi yang variable bebasnya menjadi pangakat dari suatu bilangan . Bentuk umum y=f(x)=a^x, dengan a≠0,a≠1, dan a Є R.

b. Fungsi logaritma, dengan bilangan pokok a>0 dan a≠1 adalah invers dari fungsi  eksponen dengan bilangan pokok a. Fungsi eksponen y=g(x)=a^x, inversnya adalah fungsi logaritma y=f(x)=^alogx ; a>0 , a≠1, x>0.

c.   Fungsi trigonometri,yaitu fungsi yang meliputi f9x)=sin x , f(x)=cos x ,f(x)=tan x dimana  x menyatakan besar suatu sudut (radian atau drajat).

 3.FUNGSI KHUSUS

Contoh:

a. Fungsi Konstan, Fungsi konstan adalah fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = c, dengan c suatu konstanta. Fungsi konstatn f memasangkan setiap bilangan real dengan konstanta c.

b. Fungsi identitas, Fungsi I:A─>A yang ditentukan oleh I(x) disebut fungsi identitas pada A.Fungsi I memasangkan setiap elemen daerah asal dengan dirinya sendiri.

contoh: garis y=x yang melalui titik pangkal O(o,o)

c.      Fungsi modulus, fungsi f:x─>│x│ atau f(x) yang ditentukan 

     oleh: f(x)=│x│=   x,jika x ≥ 0

                                    -x,jika x <0

          Contoh: modulus y =│x│

d. Fungsi parameter, fungsi dengan parameter diantaranya adalah x=at+b, y=2t² +c, dengan t adalah parameter yang menetapkan fungsi itu.

 4. FUNGSI GENAP dan GANJIL

a.     Fungsi genap, jika f(-x)=f(x), maka grafik tersebut simetri terhadap sumbu y .Fungsi yang demikian disebut fungsi genap.

b.     Fungsi ganjil, jika f(-x)=f(-x), maka grafik tersebut simetri terhadap titik asal O(0,0). Fungsi yang demikian disebut fungsi ganjil.

c.      Bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil, jika f(-x)≠f(x) dan f(-x)≠f(-x), maka grafiknya tidak simetri terhadap titik asal. 

5. FUNGSI PERIODIK

Fungsi f dengan domain R dikatakan fungsi periodik apabila terdapat bilangan k≠0, sehinga f (x+k)=f(x), dengan x Є R. Bilangan positif k terkecil yang memenuhi f(x+k)=f(x) disebut periode dasar fungsi itu.

Nah Guys, sekarang kamu jauh lebih paham ‘kan apa itu relasi dan fungsi? Jangan lupa terus berlatih soal-soal supaya kamu semakin mahir dalam menghitung nilai fungsi.