Sistem Bilangan Real & Himpunan

A. BILANGAN REAL

Bilangan Real

Bilangan real adalah bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasioanal dan bilangan irrasioanal sendiri.

Contohnya :
0, 1, 2, ½, 4/7, 55/7, √2, √3, √5, .... dan seterusnya.

Bilangan Irrasional
Bilangan irrasional adalah bilangan-bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan, atau bilangan yang bukan bilangan rasional.
Contohnya :
√2, √3, √5
NB :
√9 = 3, maka √9 bukan bilangan irrasional

Bilangan Rasional
Bilangan Rasional yaitu bilangan dalam bentuk a/b, dengan a dan b anggota bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contohnya :
1/4 menjadi a = 1 dan b = 4

Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang merupakan hasil bagi antara bilangan bulat dengan bilangan asli yang tidak habis dibagi, contoh 0.3, ¾

     

Bilangan Bulat
Bilangan bulat yaitu bilangan yang terdiri atas bilangan negatif, bilangan 0 (nol), dan bilangan postitif, yaitu : ..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... , dan seterusnya.

Bilangan Bulat Negatif

Bilangan bulat nositif merupakan bilangan yang letaknya berada di area sebelah kiri 0 (nol) pada garis bilangan. Jadi -1, -2, -3, -4, ... termasuk bilangan bulat negatif.

Bilangan Cacah
Bilangan cacah yaitu bilangan yang dimulai dari angka 0 (nol) sampai tak terhingga, yaitu: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., dan seterusnya.

Bilangan Nol

Pengertian bilangan nol adalah bilangan nol (0) itu sendiri contohnya, N = {0}

Bilangan Asli
Bilangan Asli yaitu bilangan yang dimulai dari angka 1 (satu) sampai tak terhingga, yaitu: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., dan seterusnya.

Bilangan Ganjil: Bilangan yang tidak habis dibagi 2. Ciri-cirinya angka satuan bilangan tersebut adalah 1, 3, 5, 7, atau 9. Contoh: 121, 3, 27

Bilangan Genap: Bilangan yang habis dibagi 2. Ciri-cirinya angka satuan bilangan tersebut adalah 0, 2, 4, 6, atau 8. Contoh: 2, 4, 18, 5674

Bilangan Prima
Bilangan Prima yaitu bilangan asli yang tepat mempunyai 2 faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri, yaitu: 2, 3, 5, 7, 11, 13,  ..., dan seterusnya.

Bilangan Komposit

Bilangan komposit adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1 tapi bukan termasuk dalam bilangan prima. Contohnya: K = {4, 6, 8, 9, 10, 12, ….}

B. HIMPUNAN

Konsep himpunan merupakan dasar untuk matematika dan ilmu computer. Banyak konsepo matematika dimulai dengan himpunan. Contohnya, hubungan antara dua objek disajikan sebagai pasangan terurut objek, konsep pasangan terurut didefinisikan menggunakan himpunan, bilangan-bilangan asli yang merupakan dasar bagi bilangan-bilangan yang lain juga didefinisikan menggunakan himpunan. 

Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan objek atau benda yang elemen/anggota-anggotanya bisa didefinisikan dengan jelas serta mempunyai nilai kebenaran yang pasti yakni benar atau salah dan bukan relatif.

Sehingga bisa kita ketahui mana objek yang termasuk dalam anggota himpunan dan objek yang bukan anggota himpunan.

Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan diagram Venn

Contoh Himpunan
1. Kumpulan kendaraan beroda tiga, anggotanya bisa ditentukan dengan jelas yaitu becak, bajaj, bemo.
2. Kumpulan bilangan bulat positif kurang dari 10, anggotanya bisa ditentukan dengan jelas yaitu 1,2,3,4,5,6 dan seterusnya.
3. Kumpulan hewan yang berkembang biak dengan bertelur, anggotanya bisa ditentukan dengan jelas yaitu burung, ayam, bebek, komodo, kadal, dan lain-lain

Contoh Bukan Himpunan
1. Kumpulan baju-baju bagus, anggotanya tidak bisa ditentukan dengan jelas karena setiap orang mempunyai pandangan sendiri-sendiri seperti apa baju yang bagus. Artinya baju bagus menurut seseorang belum tentu bagus menurut orang lain.
2. Kumpulan makanan enak, anggotanya tidak bisa ditentukan dengan jelas karena enak menurut seseorang belum tentu enak menurut orang yang lain. hal ini biasanya disebut dengan relatif.

Notasi Himpunan
Dalam menyatakan atau penulisan sebuah himpunan umumnya terdapat beberapa ketentuan yaitu:
1. Nama himpunan biasanya ditulis dengan huruf besar/kapital.
2. Objek yang termasuk anggota himpunan ditulis didalam tanda kurung kurawal seperti {....}
3. Masing-masing anggota himpunan dipisahkan dengan tanda koma (..,..)
4. Sementara anggota himpunan ditulis memakai huruf kecil.

Contohnya: himpunan hewan laut, L = {ikan,cumi-cumi,penyu,kerang,...dan seterusnya}

Cara Menyatakan Suatu Himpunan

Untuk menyatakan suatu himpunan dalam matematika setidaknya ada beberapa cara, yaitu:

1. Menyatakan himpunan menggunakan kata-kata(deskripsi) atau menyebut syarat-syaratnya.

Contohnya:

• A = { bilangan cacah kurang dari 30 }
• B = { nama-nama hari dalam satu minggu}
• C = { bilangan asli antara 6 sampai 20 }

2. Menyatakan himpunan dengan cara menyebutkan anggotanya(tabulasi).

Yakni dengan cara elemen/anggota himpunan ditulis dalam tanda kurung kurawal dan masing-masing anggota yang satu dengan yang lain dipisahkan menggunakan tanda koma.

Contohnya:

• A = { senin,selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, minggu },  untuk himpunan yang anggotanya sedikit atau terbatas.
• B = { Banyumanik, Candisari, Gayamsari, Pedurungan, Semarang Selatan, ....., Tembalang }, untuk meyatakan himpunan yang jumlah anggotanya banyak tetapi terbatas.
• C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..... }, untuk meyatakan himpunan yang jumlah anggotanya banyak serta tidak terbatas.

3. Menyatakan himpunan dengan memakai notasi pembentuk himpunan.

Dengan memakai cara ini, anggota himpunan tidak perlu disebutkan satu persatu, tetapi hanya dituliskan aturannya saja.

Contoh:

A adalah himpunan bilangan cacah yang kurang dari 7.

Jika dinyatakan dengan cara tabulasi, himpunan ini bisa ditulis dengan A = {0, 1, 2, 3, 4,5,6}.

Sementara jika dinyatakan dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan, himpunan ini bisa dituliskan A = {x|x < 7, x bilangan cacah}. Di baca, “himpunan A anggotanya adalah x sedemikian hingga x adalah kurang dari 7 dan x adalah bilangan cacah.”

Anggota Himpunan dan Bukan Anggota Himpunan

Sekarang kamu sudah mengetahui apa itu himpunan? ya himpunan merupakan kumpulan benda atau objek yang anggotanya bisa didefinisikan dengan jelas.

Dalam matematika anggota dari suatu himpunan disimbolkan dengan ∈ 
sedangkan bukan anggota himpunan disimbolkan dengan ∉ 

Dan banyaknya anggota dari suatu himpunan, misalnya kita memakai contoh banyaknya anggota himpunan D adalah 10, bisa kita tulis Notasi banyaknya anggota himpunan D dapat ditulis n(D) = 10 yang dibaca banyaknya anggota himpunan D adalah 10.

Contoh:
D = himpunan 10 bilangan asli yang pertama.
Nama himpunan memakai huruf kapital.

D = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

Maka bisa kita nyatakan n(D) = 10

3 ∈ D dibaca tiga merupakan anggota dari himpunan D.
4 ∈ D dibaca empat merupakan anggota dari himpunan D.

Untuk menyatakan bukan anggota himpunan dinotasikan dengan ∉.

11 ∉ D dibaca sebelas bukan anggota dari himpunan D.
13 ∉ D dibaca tiga belas bukan anggota dari himpunan D.

Jenis jenis Himpunan dalam Matematika

Macam-macam himpunan dalam Matematika adalah :

1. Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota apa pun atau himpunan dengan kardinalitas 0.

Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:
Ø = {}
Contoh:
M adalah himpunan bilangan prima genap.  Kenyataannya tidak ada bilangan prima genap.

2. Himpunan Bagian

Suatu himpunan A bisa dikatakan himpunan bagian/subset dari himpunan B jika setiap anggota A "termuat" di dalam B. Himpunan B adalah superhimpunan atau superset dari himpunan A karena semua elemen A juga adalah elemen B.

Simbol untuk himpunan bagian ⊂ untuk subset dan ⊃ untuk superset.
Contoh: 

A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }  dan B = { 2, 4, 6 }
Seluruh anggota himpunan B ada dalam himpunan A, maka B ⊂ A  dan A ⊃ B.

3. Himpunan Sama
Dua buah himpunan yaitu Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika  keduanya mempunyai anggota yang sama. Maksudya A sama dengan B jika A merupakan himpunan bagian dari B dan B merupakan himpunan bagian dari A. Jika tidak seperi itu, maka bisa kita katakan himpuanan A tidak sama dengan himpuanan B.
Dua buah himpunan sama jika semua anggota yang ada dalam kedua himpunan tersebut adalah sama, walaupun urutan nya tidak sama persis.

Notasi : A = B ↔ A ⊂ B dan B ⊂ A

Contoh:
1. Jika A = { 1,2,3,4,5} dan B = { 2,1,4,5,3 }, maka A ⊂ B dan B ⊂ A, maka A = B

2. Jika Himpunan A = {3,5,6,5} dan B = {5,3,6}, maka A ⊂ B dan B ⊂ A, maka A = B

2. Jika A = {3,4,5,4} dan B = {4,5}, maka A ≠ B

4. Himpunan Saling Lepas
Dua buah himpunan yang tidak kosong bisa dikatakan saling lepas jika kedua himpunan tersebut tidak memiliki anggota yang sama satu pun. Himpunan lepas dilambangkan dengan “//”.
Contoh:
Himpuanan A = {1,3,5,6} dan himpunan B = {2,4,8,10}
Maka A // B, Jika dinyatakan memakai diagram Venn:

ariohebat.blogspot.co.id

5. Himpunan Ekuivalen

Himpunan dikatakan ekuivalen jika dua himpunan mempunyai jumlah anggota yang sama walaupun objek/benda nya tidak sama. Himpunan ekuivalen dilambangkan dengan ~.

Contoh :

Jika A = {1,3,5,7,9,11} dan B = {a,b,c,d,e,f},

maka A ~ B , karena n(A)=6 dan n(B)=6.

Diagram Venn

Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek. 

Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam membuat diagram venn

1. Buatlah persegi panjang atau persegi
2. Himpunan semesta digambarkan dengan persegi panjang dan lambang S yang mana ditulis pada sudut kiri atas dalam gambar persegi panjang. Himpunan semesta (S) adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan.
3. Setiap himpunan lain yang dibicarakan digambarkan dengan lingkaran (kurva tertutup) kecuali yang tidak termasuk dalam himpunan lain yaitu dituliskan diluar lingkaran.
4. Setiap anggota ditunjukkan dengan noktah (titik) dan anggota himpunan ditulis di samping noktah tersebut.

Berikut adalah contoh diagram venn

S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A={1,3,4,2,5}

B={2,5,7,6}

Hubungan antar 2 Himpunan

a. Himpunan yang Berpotongan

Himpunan A dan B saling berpotongan jika ada anggota himpunan A dan B yang sama. Himpunan A berpotongan dengan himpunan B dapat ditulis A∩B. Himpunan yang berpotongan dapat dinyatakan dengan diagram Venn pada Gambar dibawah ini

b. Himpunan Saling Lepas

Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika tidak ada anggota himpunan A dan B yang sama. Himpunan A saling lepas dengan himpunan B dapat ditulis A//B. Himpunan saling lepas dari himpunan A dan B dinyatakan dengan diagram Venn seperti pada Gambar di bawah ini

c. Himpunan Bagian

Himpunan A dapat dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika semua anggota himpunan A merupakan anggota dari himpunan B. Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B dapat dinyatakan dengan diagram Venn seperti pada Gambar di bawah ini

d. Himpunan yang Sama

Himpunan A dan B dikatakan himpunan yang sama jika setiap anggota A merupakan anggota B dan setiap anggota B merupakan anggota A. Misalnya A = {1, 2, 3} dan B = {3, 2, 1} dapat dikatakan himpunan A sama dengan himpunan B dan dapat ditulis A = B. Dengan diagram Venn dapat dinyatakan seperti pada Gambar dibawah ini

e. Himpunan yang Ekuivalen

Dua himpunan dikatakan ekuivalen jika banyaknya anggota dari kedua himpunan tersebut sama. Contoh: A = {a, b, c, d}; B = {1, 2, 3, 4} A dan B dikatakan himpunan yang ekuivalen. Himpunan A ekuivalen dengan himpunan B jika:n(A) = n(B)

Dalam Himpunan kita mengenal beberapa istilah sepert Irisan, gabungan dan selisih seta komplemen

1. Irisan Himpunan

Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya ada di himpunan A dan ada di himpunan B. Bisa dikatakan himpunan yang anggotanya ada di kedua himpunan tersebut.

Contoh: A = {a, b, c, d, e} dan B = {b, c, f, g, h}

Pada kedua himpunan tersebut ada dua anggota yang sama yaitu b dan c. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa irisan himpunan A dan B adalah b dan c atau ditulis dengan:

A ∩B = {b, c}

A∩B dibaca himpunan A irisan himpunan B. Dengan diagram Venn A∩B dapat dinyatakan seperti pada Gambar di bawah ini

2. Gabungan Himpunan

Gabungan dari dua himpunan A dan B merupakan suatu himpunan yang anggota-anggotanya ialah anggota himpunan A atau anggota himpunan B atau anggota kedua-duanya.

Contoh: A = {1, 2, 3, 4} dan B = {4, 5, 6, 7}

Gabungan dari kedua himpunan A dan B adalah {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} atau dapat ditulis:

A ᴗB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

AᴗB dibaca himpunan A gabungan himpunan B. Dengan diagram Venn, AᴗB ditunjukkan oleh Gambar berikut

c. Komplemen

Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang anggota-anggotanya bukan merupakan anggota himpunan A.

Contoh: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A = {2, 3, 4, 5}

Komplemen dari himpunan A adalah {0, 1, 6, 7}. Komplemen dari himpunan A dinotasikan atau ditulis A’ dibaca A komplemen atau komplemen dari A. Komplemen A juga dapat dinyatakan dengan diagram Venn. Diagram Venn dari A’ dinyatakan seperti Gambar berikut:

Contoh Soal

1. Perhatikan diagram Venn Di bawah ini